Logika Orde Pertama (First-Order Logic)

Pertemuan 5

Logika Orde Pertama (First-Order Logic)

Nama : Bella Alysha Vira

NPM : 11115319

Kelas : 3KA10

Dosen : Essy Malays Sari Sakti

1.1. PENGENALAN LOGIKA ORDE PERTAMA (FIRST ORDER LOGIC)

First order logic adalah sebuah bahasa formal yang digunakan di ilmu matematika, philosophy, bahasa dan ilmu computer. Disebut juga kalkulus predikat, merupakan logika yang digunakan untuk merepresentasikan masalah yang tidak dapat direpresentasikan dengan menggunakan proposisi. Logika predikat dapat memberikan representasi fakat-fakta sebagai suatu pernyataan yang mapan (well form). Kalkulus predikat bisa menganalisakan kalimat-kalimat ke dalam subjek dan argumen dalam berbagai cara yang berbeda-beda, yang pada akhirnya kalkulus predikat bisa digunakan untuk memecahkan problem of multiple generality (masalah dalam berbagai keadaan umum) yang telah membingungkan sebagian besar ahli-ahli logika abad pertengahan. Dengan menggunakan logika predikat ini, untuk pertama kalinya, para ahli-ahli logika bisa memberikan quantifier yang cukup umum untuk merepresentasikan semua argumen yang terdapat pada natural language.

Pemanfaatan FOL untuk merepresentasikan fakta adalah salah satu teknik dasar yang sudah sejak lama dipakai untuk dapat mengkodekan bahasa alami ke dalam bentuk formal. Dengan menggunakan FOL, diharapkan fakta (dan juga pertanyaan) dapat direpresentasikan secara tepatke dalam konteksnya masing-masing, sehingga jawaban akhir yang dikembalikan kepada pengguna adalah jawaban yang tingkat kesasihannya (validity, di dalamnya mencakup consistency dan informativeness) sangat tinggi. Jika kita berbicara mengenai logika predikat, maka patut diperhatikan bahwa pada tahun 1879, filsuf berkebangsaan Jerman yang bernama Gottlob Frege menerbitkan sebuah risalat yang luar biasa, yang berjudul the Begriffsschrift (“Concept Script”). Monograp yang brilian ini dianggap sebagai asal muasal dari teori logika modern. Akan tetapi, dalam risalat milik Friege ini masih terdapat banyak kekurangan dalam beberapa bagian dan janggal dalam penotasiannnya. Walaupun demikian, penemuan Frege ini tetap diakui. Selain penemuan dari Frege, formulasi dari logika predikat yang sering digunakan sekarang adalah firstorder logic atau yang biasa dikenal dengan kalkulus predikat yang tercatat dalam Principle of Theorical Logic yang ditulis oleh David Hilbert dan Wilhelm Ackerman pada tahun 1928. First order logic dalam hal ini merupakan dasar pendiri logika matematika modern.

Di sini hanya akan disediakan beberapa poin penting yang membedakan kalkulus predikat dengan logika Aristotle. Beberapa poin tersebut diantaranya:

Di dalam kalkulus predikat didefinisikan bahwa subjek adalah hanya sebuah individu tidak pernah merupakan sekelompok individu. Karena subjek dalam kalkulus predikat ini hanyalah sebuah individu, maka subjek di sini lebih umum untuk disebutkan sebagai individual. Kalkulus predikat memakai banyak simbol-simbol khusus untuk menotasikan sesuatu. Huruf kecil a, b, c, d, …, z digunakan untuk menyatakan individual. Huruf kapital M, N, P, Q, R, … digunakan untuk menyatakan predikat. Jika terdapat notasi seperti Ma, maka dikatakan bahwa a adalah argument untuk M. Selain huruf kecil dan huruf kapital, kalkulus predikat juga menggunakan beberapa simbol khusus untuk menotasikan operator-operator logika. Beberapa simbol khusus itu adalah: ∧ ∨ ~ ⊃ ≡

Sebuah formula adalah ekpresi yang memiliki arti dan dibangun oleh atom-atomnya dan digabungkan dengan menggunakan operatoroperator logika. Kalkulus predikat memiliki kapabilitas yang besar dalam mengekspresikan suatu hal. Banyak pernyataan dalam natural language yang bisa direpresentasikan dengan baik oleh kalkulus predikat. Hal inilah yang kurang dimiliki oleh logika Aristoteles.

Dalam first-order logic yang paling utama adalah bahwa dunia berisi objek-objek yaitu identitas (ciri-ciri individu) dan sifat (properties) yang membedakan mereka dengan objek yang lain. Diantara objek tersebut, akan dibuat bermacam-macam relasi. Beberapa relasi adalah fungsi yaitu hubungan dimana hanya ada satu nilai untuk satu input. Jadi pada first-order logic mengasumsikan “world” memuat :

§  Objek : hal-hal yang berhubungan dengan identitas individu, misalnya : manusia, rumah, teori-teori, warna, mobil, dan lain-lain.

§  Sifat (properties): sifat benda yang membedakannya dari benda lain, misalnya: merah, bulat, tipis, dan lain-lain

§  Relasi : hubungan antara benda yang satu dengan benda yang lainnya, misalnya: lebih besar dari, lebih kecil dari, memiliki, terjadi setelah, dan lain-lain.

§  Fungsi (Functions): merupakan subset dari hubungan di mana hanya ada satu “nilai” untuk setiap “input” yang diberikan, misalnya: ayah dari, teman baik, dan lain-lain.

First Order Logic sangat penting dalam ilmu matematika, filsafat, kecerdasan buatan, karena ruang lingkupnya, sebab keberadaan manusia sehari-hari selalu berhubungan dengan obyek dan hubungan antar manusia sendiri. Sehingga kita tidak dapat menyangkal bahwa dunia ini terdiri dari obyek dan hubungan (relasi).

1.2. SINTAK DAN SEMANTIK LOGIKA ORDE PERTAMA

§  Model

Sebuah model adalah sebuah situasi yang menjelaskan hal-hal yang menjadi konteks pembicaraan. Untuk membentuk sebuah model, diperlukan adanya kosa-kata (vocabularies), yaitu daftar istilah yang membentuk model tersebut. Sebuah kosa-kata berisikan topik pembicaraan dan bahasa (simbol) yang digunakan dalam pembicaraan. Dalam contoh kalimat‘ayah dan anto makan sepiring nasi’, akan terdapat kosa-kata sebagai berikut: {(ayah,1), (anto,0),(makan,2), (nasi,1)}. Dalam kosa-kata ini akan terlihat bagaimana relasi antara fakta atauvariabel yang satu dengan lainnya di dalam representasi. Perlu dibedakan antara fakta (sebuah konstanta / non-binding variable), dengan variabel yang dapat menampung sebuah fakta (binding variable). Dalam contoh, relasi ‘makan’ menjelaskan bahwa aktivitas tersebut dapat terjadi jika melibatkan dua konstanta (relasi biner yang memiliki arity2). Angka 1 menjelaskan bahwa terjadi relasi tunggal (arity1), yang dapat diisikan (binding) dengan sebuah konstanta. Angka 0 menjelaskan sebuah konstanta, dan bukan merupakan relasi.

§  Syntax FOL: Elemen-Elemen Dasar

Elemen-elemen dasar FOL:

Constants : KingJohn, 2, UB, ITS, UI, Malang, Depok , . . .

Predicates : Brother , >, Loves, Membenci , Mengajar , . . .

Functions : Sqrt , LeftLegOf , Ayah, . . .

Variables : x , y , a, b, . . .

Connectives : ∧ ∨ ¬ ⇒ ⇔

Equality :        =

Quantifiers : ∀ ∃

§  Syntax FOL : Kalimat Atomic

Definisi atomic sentence : predicate(term1, , termn) atau term1 = term2

Definisi term :

function(term1, , termn) atau constant atau variable

Contoh :

Brother (KingJohn, RichardTheLionheart )

> (Length(LeftLegOf (Richard)), Length(LeftLegOf (KingJohn)))

§  Syntax FOL : Kalimat Kompleks

Kalimat kompleks complex sentence terdiri dari sentence yang digabungkan dengan connective.

Definisi complex sentence : ¬S, S1∧ S2, S1∨ S2, S1 ⇒ S2, S1 ⇔ S2

Contoh :

Sibling(KingJohn, Richard ) ⇒ Sibling(Richard , KingJohn)

>(1, 2) ∨ ≤(1, 2)

>(1, 2) ∧ ¬>(1, 2)

Belajar (x , SC) ⇒ Mengerti(x , AI)

§  Semantics FOL : Truth & Model

Sama halnya dengan. Proposisi Logic (PL), sebuah kalimat FOL bisa juga dikatakan true terhadap sebuah model.

Namun, sebuah kalimat bisa diinterpretasikan banyak cara dalam sebuah model.

Model berisi :

Objects : elemen-elemen di dalam dunia (domain elements).

Relations : hubungan antara elemen-elemen tersebut.

Sebuah interpretasi mendefinisikan referent (“yang dipetakan”)

Constant symbols → objects

Predicate symbols → relations

Function symbols → functional relations

§  Kemungkinan Model & Interpretasi

Entailment , validity , satisfiability , dll. Didefinisikan untuk semua kemungkinan interpretasi dari semua kemungkinan model!

Kalau mau dijabarkan semua kemungkinannya: For each number of domain elements n from 1 to ∞ For each k -ary predicate Pk in the vocabulary For each possible k -ary relation on n objects For each constant symbol C in the vocabulary For each choice of referent for C from n objects . .

Menentukan entailment berdasarkan truth-table? mustahil!

Biasanya ada satu interpretasi yang “dimaksudkan” → intended interpretation.

§  Quantifier

Selain penggunaan predikat, First Order Logic juga menawarkan quantifier untuk membuat kalimat logika yang lebih sederhana. Ada 2 jenis quantifier, yaitu universal dan existential. Quatifier ini berlaku terhadap parameter yang muncul di sebuah kalimat masih dalam bentuk variabel. Universal quantifier terhadap sebuah variabel x (disimbolkan dengan ∀x) berarti bahwa kalimat tersebut berlaku untuk setiap obyek x, sedangkan existential quantifier (disimbolkan dengan ∃x) berarti berlaku untuk sebagian obyek saja.

Contoh: Menggunakan definisi untuk p(x), r(x), dan q(x,y), berikut adalah kalimat-kalimat logika dengan menggunakan quantifier dan artinya:

§  ∀x(p(x) Λ r(rabu) → q(x,merah-putih)) : untuk setiap x, jika x adalah seorang siswa kelas II SD dan pada hari Rabu maka x akan mengenakan seragam merah-putih.

§ ∃x(p(x) → ¬q(x,merah-putih)) : ada x, jika x adalah seorang siswa kelas II SD maka x tidak mengenakan seragam merah putih.

§  Universal Quantifier

Dalam logika predikat , quantifieri universal merupakan jenis quantifier , sebuah konstanta logis yang ditafsirkan sebagai “diberi” atau “untuk semua”. Ini mengungkapkan bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh setiapanggota dari domain wacana. Dalam istilah lain, itu adalah predikasi dari properti atau hubungan dengan setiap anggota domain. Ini menegaskanbahwa predikat dalam lingkup dari quantifier universal benar dari setiap nilai dari variabel predikat .

Hal ini biasanya dilambangkan dengan berbalik A (∀) operator logika simbol, yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel predikat, disebut quantifier universal  (“∀x”, “∀ (x)”, atau kadang-kadang dengan “(x) “saja). Kuantifikasi Universal berbeda dari kuantifikasi eksistensial (“ada ada”), yang menegaskan bahwa properti atau relasi hanya berlaku untuk setidaknya satu anggota dari domain.

Contoh 1 :

(∀x) (x + x = 2x)

“untuk setiap x (dimana x adalah suatu bilangan), kalimat x + x = 2x adalah benar.”

Contoh 2 :

(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kelinci -> x adalah binatang).

Kebalikan kalimat “bukan kelinci adalah binatang” ditulis :

(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kelinci -> ~x adalah binatang)

dan dibaca :

– “setiap kelinci adalah bukan binatang”

“semua kelinci adalah bukan binantang”

§  Existential Quantifier

Dalam logika predikat , suatu quantifier eksistensial adalah jenis quantifier , sebuah konstanta logis yang ditafsirkan sebagai “ada ada,” “ada setidaknya satu,” atau “untuk beberapa.” Ini mengungkapkan bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh setidaknya satu anggota dari domain wacana . Dalam istilah lain, itu adalah predikasi dari properti atau hubungan dengan setidaknya satu anggota dari domain. Ini menegaskan bahwa predikat dalamlingkup dari quantifier eksistensial adalah benar dari setidaknya satu nilai darivariabel predikat .

Hal ini biasanya dilambangkan dengan E berubah (∃) operator logika simbol, yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel predikat, disebut quantifier eksistensial (“∃x” atau “∃ (x)”) Kuantifikasi eksistensial.

Contoh 1 :

(∃x) (x . x = 1)

Dibaca : “terdapat x yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya sama dengan 1.”

Contoh 2 :

(∃x) (panda(x) ∧ nama(Clyde))

Dibaca : “beberapa panda bernama Clyde”.

Contoh 3 :

(∀x) (jerapah(x) -> berkaki empat(x))

Dibaca : “semua jerapah berkaki empat”.

Universal quantifier dapat diekspresikan sebagai konjungsi.

(∃x) (jerapahh(x) ∧ berkaki tiga(x))

Dibaca : “ada jerapah yang berkaki tiga”

Existensial quantifier dapat diekspresikan sebagai disjungsi dari

urutan ai. P(a1) ∨ P(a2) ∨ P(a3) …∨ P(aN)

1.3. PENGGUNAAN LOGIKA ORDE PERTAMA

1. Assertions and queries in first-order logic.

2. The kinship domain.

3. Numbers, sets, and lists.

1.4. REKAYASA PENGETAHUAN PADA LOGIKA ORDE PERTAMA

1. Identify the task.

2. Assemble the relevant knowledge.

3. Decide on a vocabulary of predicates, functions, and constants.

4. Encode general knowledge about the domain

5. Encode a description of the specific problem instance.

6. Pose queries to the inference procedure and get answers.

7. Debug the knowledge base.

 1.5. LOGIKA PROPOSISI VS INFERENSI LOGIKA ORDE PERTAMA

Contoh Permasalahan

Pembuktian Logika Proposisi

Setiap manusia pasti mati. Karena Sayuti adalah manusia, maka dia pastimati.

Secara intuisi kalimattersebut bernilai Benar. Berdasarkan logika proposisi kalimat tersebut dapat

disimbolkan sebagai:

p : Setiap manusia pasti mati

q : Sayuti adalah manusia

r : Sayuti pasti mati

Berdasarkan kerangka berfikir Logika Proposisi bukanlah konsekuensi Logis dari pdan q. Pernyataan

‘Setiap manusia pasti mati’ mengandung pernyataan Himpunan, yaitu Himpunan ‘manusia’, dimana

individu yang merupakan bagian dari himpunan manusia jumlahnya tidak terhingga. Sedangkan

pernyataan ‘Sayuti adalah manusia’ secara implisit menyatakan anggota dari himpunan ‘manusia’/

universal of discourse.

Struktur sepertidiatas tidak dikenali oleh Logika Proposisi, karena apabila ingin membuktikan

kebenaran dari pernyataan ‘Setiap manusiapasti masti’ maka harus dicari nilai kebenaran dari seluruh

elemen himpunan manusia yang jumlahnya tak terhingga. Ini tidak mungkin dilakukan.

Untuk mengatasi permasalahan diatas diperlukan kerangka berfikir lain selain Logika Proposisi yaitu

Logika First-Order (Kalkulus Predikat). Maka dapat didefinisikan bahwa Logika First-Order adalah

perluasan dari konsep Logika Proposisi untuk mengatasi permasalahan yang tidak dapat dipecahkan

melalui kerangka berfikir Logika Proposisi dengan penambahan 3 komponen logika yaitu: Term

(suku), Predicate dan Quantifier.

Pembuktian pada Logika First-Order

Pembuktian Logika First-Order hampir sama dengan pembuktian pada Logika Proposisi. Hanya saja

pada Logika First-Order pembuktian menggunakan Aturan Inferensi lebih mungkin untuk dilakukan.

Contoh:

Buktikan bahwa “Setiap manusia pasti mati. Sayuti adalah manusia, Karenanya Sayuti pasti mati.”

Jawab:

Misal dideklarasikan predikat berikut:

MAN(x)        :x adalah manusia

MORTAL(x) :x pasti mati

Maka pernyataan pada soal menjadi:

P1                  :(x) (MAN(x) MORTAL(x))

P2                  :MAN(Sayuti)

Untuk membuktikan bahwa kesimpulan “Sayuti pasti mati”harus dibuktian bahwa MORTAL(Sayuti)

adalah konsekuensi logis dari P1dan P2. Maka;

Dilakukan pembuktian langsung:

P1P2             : (x) (MAN(x) MORTAL(x)) MAN(Sayuti)

Karena (MAN(x)  MORTAL(x)) bernilai Benar untuk semua x maka;

(MAN(Sayuti)  MORTAL(Sayuti)) juga Benar

(x) (MAN(x)MORTAL(x))

MAN(Sayuti)

(MAN(Sayuti)MORTAL(Sayuti))

MORTAL(Sayuti)

Premis P1

Premis P2

Langkah 1 dan 2

P1: x Sayuti

1.6. UNIFIKASI DAN LIFTING

Unifikasi adalah usaha untuk mencoba membuat dua ekspresi menjadi identik (mempersatukan keduanya) dengan mencari substitusi-substitusi tertentu untuk mengikuti peubah-peubah dalam ekspresi mereka tersebut. Unifikasi merupakan suatu prosedur sistematik untuk memperoleh peubah-peubah instan dalam wffs. Ketika nilai kebenaran predikat adalah sebuah fungsi dari nilai-nilai yang diasumsikan dengan argumen mereka, keinstanan terkontrol dari nilai-nilai selanjutnya yang menyediakan cara memvalidasi nilai-nilai kebenaran pernyataan yang berisi predikat. Unifikasi merupakan dasar atas kebanyakan strategi inferensi dalam Kecerdasan Buatan. Sedangkan dasar dari unifikasi adalah substitusi.

Suatu substitusi (substitution) adalah suatu himpunan penetapan istilah-istilah kepada peubah, tanpa ada peubah yang ditetapkan lebih dari satu istilah. Sebagai pengetahuan jantung dari eksekusi Prolog, adalah mekanisme unifikasi.

Aturan-aturan unifikasi :

1.     Dua atom (konstanta atau peubah) adalah identik.

2.     Dua daftar identik, atau ekspresi dikonversi ke dalam satu buah daftar.

3.  Sebuah konstanta dan satu peubah terikat dipersatukan, sehingga peubah menjadi terikat kepada konstanta.

4.     Sebuah peubah tak terikat diperssatukan dengan sebuah peubah terikat.

5.  Sebuah peubah terikat dipersatukan dengan sebuah konstanta jika pengikatan pada peubah terikat dengan konstanta tidak ada konflik.

6.   Dua peubah tidak terikat disatukan. Jika peubah yang satu lainnya menjadi terikat dalam upa-urutan langkah unifikasi, yang lainnya juga menjadi terikat ke atom yang sama (peubah atau konstanta).

7.    Dua peubah terikat disatukan jika keduanya terikat (mungkin melalui pengikatan tengah) ke atom yang sama (peubah atau konstanta).

1.7. FORWARD & BACKWARD CHAINING

§  FORWARD CHAINING

Forward chaining merupakan metode inferensi yang melakukan penalaran dari suatu masalah kepada solusinya. Jika klausa premis sesuai dengan situasi (bernilai TRUE), maka proses akan menyatakan konklusi. Forward chaining adalah data-driven karena inferensi dimulai dengan informasi yang tersedia dan baru konklusi diperoleh. Jika suatu aplikasi menghasilkan tree yang lebar dan tidak dalam, maka gunakan forward chaining.

Contoh :

Terdapat 10 aturan yang tersimpan dalam basis pengetahuan yaitu :

R1 : if A and B then C

R2 : if C then D

R3 : if A and E then F

R4 : if A then G

R5 : if F and G then D

R6 : if G and E then H

R7 : if C and H then I

R8 : if I and A then J

R9 : if G then J

R10 : if J then K

Fakta awal yang diberikan hanya A dan E, ingin membuktikan apakah K bernilai benar.

§  BACKWARD CHAINING

Menggunakan pendekatan goal-driven, dimulai dari harapan apa yang akan terjadi (hipotesis) dan kemudian mencari bukti yang mendukung (atau berlawanan) dengan harapan kita. Sering hal ini memerlukan perumusan dan pengujian hipotesis sementara. Jika suatu aplikasi menghasilkan tree yang sempit dan cukup dalam, maka gunakan backward chaining.

1.8. RESOLUSI LOGIKA PREDIKAT

Resolusi pada logika predikat pada dasarnya sama dengan resolusi pada logika proposisi, hanya saja ditambah dengan unifikasi.Pada logika predikat, prosedur untuk membuktikan pernyataan P dengan beberapa pernyataan F yang telah diketahui, dengan menggunakan resolusi, dapat dilakukan melalui algoritma sebagai berikut :

1.     Konversikan semua proposisi F ke bentuk klausa

2.     Negasikan P, dan konversikan hasil negasi tersebut ke bentuk klausa.Tambahkan   kehimpunan klausa yang telah ada pada langkah

3.     Kerjakan hingga terjadi kontradiksi atau proses tidak mengalami kemajuan :

§  Seleksi 2 klausa sebagai klausa parent

§  Bandingkan (resolve) secara bersama-sama. Klausa hasil resolve tersebut  resolvent. Jika ada pasangan literal T dan ¬T2 sedemikian hingga keduanya dapat dilakukan unifikasi, maka salah satu T1 dan T2 disebut sebagai complementary literal. Jika ada lebih dari 1 complementary literal, maka hanya sepasang yang dapat meninggalkan resolvent

§  Jika resolvent berupa klausa kosong, maka ditemukan kontradiksi. Jika tidak, tambahkan ke himpunan klausa yang telah ada

Contoh kasus :

Misalkan terdapat pernyataan-pernyataan sebagai berikut :

1.     Fajar adalah seorang mahasiswa

2.     Fajar masuk Jurusan Elektro

3.     Setiap mahasiswa elektro pasti mahasiswa Teknik

4.     Kalkulus adalah matakuliah yang sulit

5.     Setiap mahasiswa teknik pasti akan suka kalkulus atau akan membencinya

6.     Setiap mahasiswa pasti akan suka terhadap suatu matakuliah

7.     Mahasiswa yang tidak pernah hadir pada kuliah matakuliah sulit, maka mereka pasti tidak   suka terhadap matakuliah tersebut

8.     Fajar tidak pernah hadir kuliah matakuliah kalkulus

Maka harus terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk klausa sebagai berikut :

1.     Mahasiswa (Fajar)

2.     Elektro (Fajar)

3.     Elektro (x1) v Teknik (v1)

4.     Sulit (Kalkulus)

5.     Teknik (x2) v suka (x2, Kalkulus) v benci (x2, Kalkulus)

6.     Suka (x3, f1 (x3))

7.     Mahasiswa (x4) v ¬ sulit (y1) v hadir (x4, y1) v ¬ suka (x4, y1)

8.     Hadir (Fajar, Kalkulus)

Referensi

[Bos, J. 2006], LogAnswer [Furbach, U., et. al. 2009].

Russel, Stuart, Artificial Intelligence : a modern Approach, pearson, 2011.

Ebook Artifical Intelligence A Modern Approach(3rd Edition).